\documentclass{article}
% \documentclass{ctexarc}
\usepackage{ctex}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{siunitx}
\begin{document}
% \[
%     A=\begin{bmatrix}
%         1&&&\\
%         l_{21}&1&&\\
%         \vdots&\vdots&\ddots&\\
%         l_{n1}&l_{n2}&\ldots&1
%     \end{bmatrix} 
%     \begin{bmatrix}
%         u_{11}&u_{12}&\ldots&u_{1n}\\
%         &u_{22}&\ldots&u_{2n}\\
%         &&\ddots&\vdots\\
%         &&&u_{nn}
%     \end{bmatrix}\]
% \[
%     \begin{bmatrix}
%         a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\
%         a_{21}&a_{21}&\ldots&a_{2n}\\
%         \vdots&\vdots&&\vdots\\
%         a_{n1}&a_{n1}&\ldots&a_{nn}
%     \end{bmatrix}\]
% $a_{1i}=u_{1i},i=1,2,\ldots,n,$
% $a_{i1}=l_{i1}u_{11},l_{i1}=a_{i1}/u_{11},i=2,3,\ldots,n,$
% $$a_{ri}=\sum_{k = 1}^{n}l_{rk}u_{ki}=\sum_{k = 1}^{r-1}l_{rk}u_{ki}+u_{ri},$$
% $$u_{ri}=a_{ri}-\sum_{k = 1}^{r-1}l_{rk}u_{ki},i=r,r+1,\ldots,n.$$
% $$$$
% $$a_{ir}=\sum_{k = 1}^{n}l_{ik}u_{kr}=\sum_{k = 1}^{r-1}l_{ik}u_{kr}+l_{ir}u_{rr}.$$
% $u_{1i}=a_{1i}(i=1,2,\ldots,n),l_{i1}=a_{i1}/u_{11},i=2,3,\ldots,n.$
% $u_{ri}=a_{ri}-\sum_{k = 1}^{r-1}l_{rk}u_{ki},i=r,r+1,\ldots,n;$
% $l_{ir}=(a_{ir}-\sum_{k = 1}^{r-1}l_{ik}u_{kr})/u_{rr},i=r+1,\ldots,n,\text{且}r \ne n.$
% $$\begin{cases}
%     y_1=b_1,\\
%     y_i=b_i-\sum_{k = 1}^{i-1}l_{ik}y_k,i=2,3,\ldots,n;
% \end{cases}$$
% $$\begin{cases}
%     x_n=y_n/u_{nn},\\
%     x_i=(y_i-\sum_{k=i+1}^{n}u_{ik}x_k)/u_{ii},i=n-1,n-2,\ldots,1.
% \end{cases}$$
% $$\begin{bmatrix}
%     a_{11}^{(1)}&a_{12}^{(1)}&\ldots&a_{1n}^{(1)}\\
%     &a_{22}^{(2)}&\ldots&a_{2n}^{(2)}\\
%     &&\ddots&\vdots\\
%     &&&a_{nn}^{(n)}
% \end{bmatrix}
% \begin{bmatrix}
%     x_1\\
%     x_2\\
%     \vdots\\  
%     x_n
% \end{bmatrix}=
% \begin{bmatrix}
%     b_1^{(1)}\\
%     b_2^{(2)}\\
%     \vdots\\
%     b_n^{(n)}\\
% \end{bmatrix}$$
% $$\begin{cases}
%     m_{ik}=a_{ik}^{(k)}/a_{kk}^{(k)},i=k+1,\ldots,n,\\
%     a_{ij}^{(k+1)}=a_{ij}^{(k)}-m_{ik}a_{kj}^{(k)},i,j=k+1,\ldots,n,\\
%     b_{i}^{(k+1)}=b_{i}^{(k)}-m_{ik}b_{k}^{(k)},i=k+1,\ldots,n.
% \end{cases}$$
% $$\begin{cases}
%     x_n=b_n^{(n)}/a_{nn}^{(n)},\\
%     x_i=(b_i^{(i)}-\sum\limits_{j=k+1}^{n}a_{ij}^{(i)}x_j)/a_{ii}^{(i)},\quad i=n-1,\ldots,2,1.
% \end{cases}$$
% $$\begin{bmatrix}
%     10&-7&0&1\\
%     -3&2.099999&6&2\\
%     5&-1&5&-1\\
%     2&1&0&2
% \end{bmatrix}
% \begin{bmatrix}
%     x_1\\
%     x_2\\
%     x_3\\  
%     x_4
% \end{bmatrix}=
% \begin{bmatrix}
%     8\\
%     5.900001\\
%     5\\
%     1
% \end{bmatrix}$$

% 如果$A$为$n$阶对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异下三角矩阵$L$使$A=LL^T$，当限定$L$的对角元素为正时，这种分解是唯一的.
% 下面用直接分解方法来确定计算$L$元素的递推公式.因为
% $$A=\begin{bmatrix}
%     l_{11}&&&\\
%     l_{21}&l_{22}&&\\
%     \vdots&\vdots&\ddots&\\
%     l_{n1}&l_{n2}&\ldots&l_{nn}
% \end{bmatrix}
% \begin{bmatrix}
%     l_{11}&l_{21}&\ldots&l_{n1}\\
%     &l_{22}&\ldots&l_{n2}\\
%     &&\ddots&\vdots\\
%     &&&l_{nn}
% \end{bmatrix}$$
% 其中$l_{ii}>0(i=1,2,\ldots,n).$由矩阵乘法及$l_{jk}=0(当j<k时),得$
% $$a_{ij}=\sum_{k=1}^{n}l_{ik}l_{jk}=\sum_{k=1}^{j-1}l_{ik}l_{jk}+l_{jj}l_{ij},$$
% 于是得到解对称正定方程组$Ax=b$的平方根计算公式:
% 对于$j=1,2,\ldots,n$
% $$(1)l_{jj}=(a_{jj}-\sum_{k=1}^{j-1}l_{jk}^2)^{\frac{1}{2}};$$
% $$(2)l_{ij}=(a_{ij}-\sum_{k=1}^{j-1}l_{ik}l_{jk})/l_{jj},i=j+1,\ldots,n.$$
% 求解$Ax=b,$即求解两个三角形方程组:
% i.$Ly=b,求y;$ ii.$L^Tx=y,求x.$
% $$(3)y_i=(b_i-\sum_{k=1}^{i-1}l_{ik}y_k)/l_{ii},i=1,2,\ldots,n.$$
% $$(4)x_i=(b_i-\sum_{k=i+1}^{n}l_{ki}x_k)/l_{ii},i=n,n-1,\ldots,1.$$
% $$\begin{bmatrix}
%     4&2&-4&0&2&4&0&0\\
%     2&2&-1&-2&1&3&2&0\\
%     -4&-1&14&1&-8&-3&5&6\\
%     0&-2&1&6&-1&-4&-3&3\\
%     2&1&-8&-1&22&4&-10&-3\\
%     4&3&-3&-4&4&11&1&-4\\
%     0&2&5&-3&-10&1&14&2\\
%     0&0&6&3&-3&-4&2&19
% \end{bmatrix}
% \begin{bmatrix}
%     x1\\ x2\\ x3\\ x4\\ x5\\ x6\\ x7\\ x8\\
% \end{bmatrix}=
% \begin{bmatrix}
%     0\\-6\\20\\23\\9\\-22\\-15\\45
% \end{bmatrix}$$
% 对称阵的三角分解定理
% 设$A$为$n$阶对称矩阵，且$A$的所有顺序主子式均不为零，则$A$可唯一分解为$$A=LDL^T,$$
% 其中$L$为单位下三角矩阵，$D$为对角矩阵.即
% $$A=\begin{bmatrix}
%         1&&&\\
%         l_{21}&1&&\\
%         \vdots&\vdots&\ddots&\\
%         l_{n1}&l_{n2}&\ldots&1
%     \end{bmatrix}
%     \begin{bmatrix}
%         d_1&&&\\
%         &d_2&&\\
%         &&\ddots&\\
%         &&&d_n
%     \end{bmatrix}
%     \begin{bmatrix}
%         1&l_{21}&\ldots&l_{n1}\\
%         &1&\ldots&l_{n2}\\
%         &&\ddots&\vdots\\
%         &&&1\end{bmatrix}$$
% 由矩阵乘法，并注意$l_{jj}=1,l_{jk}=0(j<k),得$
% $$a_{ij}=\sum_{k = 1}^{n}(LD)_{ik}(L^T)_{kj}=\sum_{k = 1}^{n}l_{ik}d_kl_{jk}=\sum_{k = 1}^{j-1}l_{ik}d_kl_{jk}+l_{ij}d_jl_{jj} $$
% 于是得到计算$L$的元素及$D$的对角元素公式:
% 对于$i=1,2,\ldots,n.$
% $(1)l_{ij}=(a_{ij}-\sum\limits_{k = 1}^{j-1}l_{ik}d_kl_{jk})/d_j,j=1,2,\ldots,i-1$
% $(2)d_i=a_{ii}-\sum\limits_{k = 1}^{i-1}l_{ik}^2d_k.(i)$
% 为了避免重复计算，引进$$t_{ij}=l_{ij}d_j,$$由(i)式得到按行计算$L,T$元素的公式:$$d_1=a_{11}$$
% 对于$i=2,3,\ldots,n.$
% $(1)t_{ij}=a_{ij}-\sum\limits_{k=1}^{j-1}t_{ik}l_{jk},j=1,2,\ldots,i-1;$
% $(2)l_{ij}=t_{ij}/d_j,j=1,2,\ldots,i-1;$
% $(3)d_i=a_{ii}-\sum\limits_{k = 1}^{i-1}t_{ik}l_{ik}.$
% 求解$Ly=b,DL^Tx=y$计算公式
% $(4)\begin{cases}
%         y_1=b_1;\\
%         y_i=b_i-\sum\limits_{k = 1}^{i-1}l_{ik}y_k,i=2,3,\ldots,n.
%     \end{cases}$
% $5)\begin{cases}
%         x_n=y_n/d_n;\\
%         x_i=y_i/d_i-\sum\limits_{k=i+1}^{n}l_{ki}x_k,i=n-1,n-2,\ldots,1.
%     \end{cases}$
% $$\begin{bmatrix}
%     2&-1&1\\
%     -1&-2&3\\
%     1&3&1
% \end{bmatrix}
% \begin{bmatrix}
%     x_1\\
%     x_2\\
%     x_3 
% \end{bmatrix}=
% \begin{bmatrix}
%     4\\
%     5\\
%     6
% \end{bmatrix}.

% 追赶法
% 解系数矩阵为对角占优的三对角线方程组
% $$\begin{bmatrix}
%         b_1&c_1&&&\\
%         a_2&b_2&c_2&&\\
%         &\ddots&\ddots&\ddots&\\
%         &&a_{n-1}&b_{n-1}&c_{n-1}\\
%         &&&a_n&b_n
%     \end{bmatrix}
%     \begin{bmatrix}
%         x_1\\
%         x_2\\
%         \vdots\\
%         x_{n-1}\\
%         x_n
%     \end{bmatrix}=
%     \begin{bmatrix}
%         f_1\\
%         f_2\\
%         \vdots\\
%         f_{n-1}\\
%         f_n
%     \end{bmatrix},$$
% 简记为$Ax=f.$其中，当$|i-j|>1$时，$a_{ij}=1,$且:
% $| b_1| >| c_1| >0;$
% $| b_i| \ge |a_i| +|c_i|,a_i,c_i\ne0,i=2,3,\ldots,n-1$
% $| b_n| >| a_n| >0.$
% 设$$A=\begin{bmatrix}
%     b_1&c_1&&&\\
%     a_2&b_2&c_2&&\\
%     &\ddots&\ddots&\ddots&\\
%     &&a_{n-1}&b_{n-1}&c_{n-1}\\
%     &&&a_n&b_n
% \end{bmatrix}
% \begin{bmatrix}
%     \alpha_1&&&\\
%     \gamma_2&\alpha_2&&\\
%     &\ddots&\ddots&\\
%     &&\gamma_n&\alpha_n
% \end{bmatrix}=
% \begin{bmatrix}
%     1&\beta_1&&\\
%     &1&\ddots&\\
%     &&\ddots&\beta_{n-1}\\
%     &&&1
% \end{bmatrix},$$其中$\alpha_i,\beta_i,\gamma_i为待定系数.$
% 经过分析，求解$Ax=f$等价于求解两个三角形方程组:
% $(1)Ly=f,求y;$ $(2)Ux=y,求x.$
% 从而得到解三对角线方程组的追赶法公式:
% (1)计算$\{ \beta_i\} $的递推公式
% $$\begin{align}
%     \beta_1&=c_1/b_1,\\
%     \beta_i&=c_i/(b_i-\alpha_i\beta_{i-1}),i=2,3,\ldots,n-1;
% \end{align}$$
% (2)解$Ly=f$
% $$\begin{align}
%     y_1&=f_1/b_1,\\
%     y_i&=(f_i-\alpha_iy_{i-1})/(b_i-\alpha_i\beta_{i-1}),i=2,3,\ldots,n;
% \end{align}$$
% (3)解$Ux=y$
% $$\begin{align}
%     x_n&=y_n,\\
%     x_i&=y_i-\beta_ix_{i+1},i=n-1,n-2,\ldots,1.
% \end{align}$$
% $$\begin{align}
%     x_n&=y_n,\\
%     x_i&=y_i-\beta_ix_{i+1},i=n-1,n-2,\ldots,1.
% \end{align}$$
% $$\begin{bmatrix}
%     2&-1&0&0&0\\
%     -1&2&-1&0&0\\
%     0&-1&2&-1&0\\
%     0&0&-1&2&-1\\
%     0&0&0&-1&2
% \end{bmatrix}
% \begin{bmatrix}
%     x_1\\
%     x_2\\
%     x_3\\
%     x_4\\
%     x_5
% \end{bmatrix}=
% \begin{bmatrix}
%     1\\0\\0\\0\\0
% \end{bmatrix}$$
% 向量的范数
% 如果向量$x\in\mathbb{R}^n(或\mathbb{C}^n)$的某个实值函数$N(x)=\left\lVert \,x\,\right\rVert,$满足条件:
% $(1)\left\lVert \,x\,\right\rVert\geqslant 0(\left\lVert \,x\,\right\rVert=0\text{当且仅当}x=0)\text{正定条件}$
% $(2)\left\lVert \,\alpha x\,\right\rVert=\left\lvert \alpha \right\rvert\left\lVert \,x\,\right\rVert,\forall \alpha \in\mathbb{R}(或\alpha \in\mathbb{C}), $
% $(3)\left\lVert \,x+y\,\right\rVert\leqslant\left\lVert \,x\,\right\rVert+\left\lVert \,y\,\right\rVert(三角不等式) $
% 则称$N(x)是\mathbb{R}^n(或\mathbb{C}^n)上的向量范数或模.$
% 几种常见的向量范数.
% (1)向量的$\infty$-范数(最大范数):
% $$\begin{Vmatrix}
%     \,x\,
% \end{Vmatrix}\;_\infty=
% \max_{1\leqslant i\leqslant n}\left\lvert\, x_i\,\right\rvert.$$
% (2)向量的1-范数:
% $$\left\lVert \,x\,\right\rVert_1=\sum_{i = 1}^{n}\left\lvert\, x_i\,\right\rvert.$$
% (3)向量的2-范数:
% $$\left\lVert \,x\,\right\rVert_2=(x,x)^{\frac{1}{2}}=(\sum_{i = 1}^{n}x_i^{2})^{\frac{1}{2}}.$$
% (4)向量的$p$-范数:
% $$\left\lVert \,x\,\right\rVert_p=(\sum_{i = 1}^{n}\left\lvert\, x_i\,\right\rvert^p)^{\frac{1}{p}}.$$
% 其中$p\in[1,+\infty),$可以证明向量函数$N(x)\equiv\left\lVert \,x\,\right\rVert_p是\mathbb{R}^n$上的向量范数，且
% 容易说明上述三种范数是$p$-范数的特殊情况$(\left\lVert \,x\,\right\rVert_\infty=\lim_{p \to \infty}\left\lVert \,x\,\right\rVert_p  ).$
% 矩阵范数
% 将向量范数概念推广到矩阵上去.视$\mathbb{R}^{n\times n}$中的矩阵为$\mathbb{R}^{n^2}$中的向量，则由$\mathbb{R}^{n^2}$上的2-范数，可以得到
% $\mathbb{R}^{n\times n}$中矩阵的一种范数.
% $$F(A)=\left\lVert \,A\,\right\rVert_F=(\sum_{i,j= 1}^{n}a_{i,j}^{2})^{\frac{1}{2}},$$
% 称为A的弗罗贝尼乌斯范数.$\left\lVert \,A\,\right\rVert_F$显然名字正定性，齐次性及三角不等式.
% 矩阵范数的一般定义.
% 如果矩阵$A\in\mathbb{R}^{n\times n}$的某个非负实值函数$N(A)=\left\lVert \,A\,\right\rVert,$满足条件:
% $(1)\left\lVert \,A\,\right\rVert\geqslant 0(\left\lVert \,A\,\right\rVert=0\Leftrightarrow A=0)\text{(正定条件)};$
% $(2)\left\lVert \,c A\,\right\rVert=\left\lvert c \right\rvert\left\lVert \,A\,\right\rVert,\forall c \in\mathbb{R}\text{(齐次条件)}; $
% $(3)\left\lVert \,A+B\,\right\rVert\leqslant\left\lVert \,A\,\right\rVert+\left\lVert \,B\,\right\rVert(三角不等式) $
% 则称$N(A)是\mathbb{R}^{n\times n}上的矩阵范数或模.$
% 设$x\in\mathbb{R}^n,A\in\mathbb{R}^{n\times n},$则:
% $(1)\left\lVert \,A\,\right\rVert_\infty=\max_{1\leqslant i\leqslant n}\sum_{j=1}^n\left\lvert \,a_{ij}\, \right\rvert\text{(称为A的行范数)};$
% $(2)\left\lVert \,A\,\right\rVert_1=\max_{1\leqslant j\leqslant n}\sum_{i=1}^n\left\lvert \,a_{ij}\, \right\rvert\text{(称为A的列范数)};$
% $(3)\left\lVert \,A\,\right\rVert_2=\sqrt{\lambda_{\max}(A^TA)}\text{(称为A的2-范数)},其中\lambda_{\max}(A^TA)表示A^TA的最大特征值.$
% 设$A$为非奇异矩阵，称数$cond(A)_v=\left\lVert \,A^{-1}\,\right\rVert_v\left\lVert \,A\,\right\rVert_v(v=1,2或\infty)$为矩阵$A$的条件数.
% 通常使用的条件数有
% $(1)\quad cond(A)_\infty=\left\lVert \,A^{-1}\,\right\rVert_\infty\left\lVert \,A\,\right\rVert_\infty;$
% $(2)\quadA$的谱条件数$$cond(A)_2=\left\lVert \,A\,\right\rVert_2\left\lVert \,A^{-1}\,\right\rVert_2=\sqrt{\frac{\lambda_{\max}(A^TA)}{\lambda_{\min}(AA^T)}}.$$
% 当$A$为对称矩阵时$$cond(A)_2=\frac{| \lambda_1\vert }{| \lambda_n\vert},$$
% 其中，$\lambda_1,\lambda_n$为$A$的绝对值最大特征值和绝对值最小特征值.
% 设有线性方程组
% $$
% \begin{cases} 
% 		a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&\cdots&+a_{1n}x_n&=&b_1,\\
% 		a_{21}x_1&+&a_{22}x_2&+&\cdots&+a_{2n}x_n&=&b_2,\\
% 		\vdots\\
% 		a_{n1}x_1&+&a_{n2}x_2&+&\cdots&+a_{nn}x_n&=&b_n,&			
% \end{cases}
% $$现将该线性方程组改写为
% $$
% \begin{cases} 
%         x_1=\dfrac{1}{a_{11}}(-a_{12}x_2&-\cdots&&-a_{1n}x_n&+&b_1),\\		
%         x_2=\dfrac{1}{a_{22}}(-a_{21}x_1&-a_{23}x_3&-\cdots&-a_{2n}x_n&+&b_2),\\	
% 		\vdots\\
%         x_n=\dfrac{1}{a_{nn}}(-a_{n1}x_1&-a_{n2}x_2&-\cdots&-a_{nn-1}x_{n-1}&+&b_n);	(1)
% \end{cases}
% $$或者写为$x=B_0x+f,$其中 
$$B_0=\begin{bmatrix}
    0&-\dfrac{a_{12}}{a_{11}}&-\dfrac{a_{13}}{a_{11}}&\ldots&-\dfrac{a_{1n}}{a_{11}}\\
    -\dfrac{a_{21}}{a_{22}}&0&-\dfrac{a_{23}}{a_{22}}&\ldots&-\dfrac{a_{2n}}{a_{22}}\\
    -\dfrac{a_{31}}{a_{33}}&-\dfrac{a_{32}}{a_{33}}&0&\ldots&-\dfrac{a_{3n}}{a_{33}}\\
    \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
    -\dfrac{a_{n1}}{a_{nn}}&-\dfrac{a_{n2}}{a_{nn}}&\ldots&-\dfrac{a_{nn-1}}{a_{nn}}&0
\end{bmatrix},
f=\begin{bmatrix}
    \dfrac{b_1}{a_{11}}\\
    \dfrac{b_2}{a_{22}}\\
    \dfrac{b_3}{a_{33}}\\
    \vdots\\
    \dfrac{b_n}{a_{nn}}
\end{bmatrix}$$
% 任取初始值$x^{(0)}=(0,0,\ldots,0)^T$,将其带入(1)右边，得到新的值$x^{(1)}=(x_1^{(1)},x_2^{(1)},\ldots,x_n^{(1)})^T$
% 再将$x^{(1)}$带入\ref{eq:1}右边，反复进行从而可以得到一个向量序列
% $$x^{(k+1)}=Bx^{(k)}+f,k=0,1,2,\ldots,(2)$$其中k表示迭代次数.
% 迭代法及其收敛性定义
% (1)对于给定的线性方程组$x=Bx+f,$用公式(2)逐步带入求近似解的方法称为迭代法(或一阶定常迭代法,这里$B与k$无关).
% (2)如果$\lim\limits_{k \to \infty}x^{(k)}存在(记为x^{*}),$称次迭代法收敛，显然$x^{*}$就是此方程的解，否则称此迭代法发散.
% 雅可比迭代法 
% 将线性方程组$Ax=b$中的系数矩阵$A=(a_{ij})\in \mathbb{R}^{n\times n}$分成三部分
% $$A=\begin{bmatrix}
%         a_{11}&&&\\
%         &a_{22}&&\\
%         &&\ddots&\\
%         &&&a_{nn}
%     \end{bmatrix}-
%     \begin{bmatrix}
%         0&&&&\\
%         -a_{21}&0&&&\\
%         \vdots&\vdots&\ddots&&\\
%         -a_{n-1,1}&-a_{n-1,2}&\ldots&0\\
%         -a_{n1}&-a_{n2}&\ldots&-a_{n,n-1}&0
%     \end{bmatrix}-
%     \begin{bmatrix}
%         0&-a_{12}&\ldots&-a_{1,n-1}&-a_{1n}\\
%         &0&\ldots&-a_{2,n-1}&-a_{2n}\\
%         &&\ddots&\vdots&\vdots\\
%         &&&0&-a_{n-1,n}\\
%         &&&&0
%     \end{bmatrix}\equiv D-L-U.$$
% 设$a_{ii}\neq 0(i=1,2,\ldots,n),$选取$M$为$A$的对角元素部分，即选取$M=D(对角矩阵),A=D-N,$得到解$Ax=b$的
% 雅可比(Jacobi)迭代法
% $$\begin{cases}
%     x^{(0)},\text{初始向量,}\\
%     x^{(k+1)}=Bx^{(k)}+f,k=0,1,2,\ldots,
% \end{cases}$$
% 其中$B=I-D^{-1}A=D^{-1}(L+U)\equiv J,f=D^{-1}b.称J为Ax=b的雅可比迭代法的迭代矩阵.$
% 高斯-赛德尔迭代法
% 选取分裂矩阵$M为A$的下三角部分，即选取$M=D-L(下三角矩阵),A=M-N,于是得到解Ax=b的高斯-赛德尔迭代法.$
% $$\begin{cases}
%     x^{(0)},\text{初始向量,}\\
%     x^{(k+1)}=Bx^{(k)}+f,k=0,1,2,\ldots,
% \end{cases}$$
% 其中$B=I-(D-L)^{-1}A=(D-L)^{-1}U\equiv G,f=(D-L)^{-1}b.称G=(D-L)^{-1}U为解Ax=b的高斯-赛德尔迭代法的迭代矩阵.$
% 逐次超松弛迭代法
% 选取分裂矩阵$M$为带参数的下三角矩阵$$M=\frac{1}{\omega }(D-\omega L),$$
% 其中$\omega >0$为可选择的松弛因子.于是可以构造一个迭代矩阵
% $$L_{\omega}\equiv I-\omega(D-\omega L)^{-1}A=(D-\omega L)^{-1}((1-\omega)D+\omega U).$$
% 从而得到解$Ax=b$的逐次超松弛迭代法(successive over relaxation method,简称SOR方法).
% 解$Ax=b$的SOR方法为
% $$\begin{cases}
%     x^{(0)},\text{初始向量,}\\
%     x^{(k+1)}=L_{\omega}x^{(k)}+f,k=0,1,\ldots,
% \end{cases}$$
% 其中$L_{\omega}=(D-\omega L)^{-1}((1-\omega)D+\omega U),f=\omega (D-\omega L)^{-1}b.$
% The Pythagorean theorem is:
% \begin{equation}
% a^2 + b^2 = c^2 \label{pythagorean}
% \end{equation}
% Equation \eqref{pythagorean} is
% called `Gougu theorem' in Chinese.
% The Pythagorean theorem is:
% a2+ b
% 2
% = c2(4.1)
% Equation (4.1) is called ‘Gougu theorem’ in
% \begin{equation*}
%     a^2 + b^2 = c^2
% \end{equation*}
% For short:
% \[ a^2 + b^2 = c^2 \]
% Or if you like the long one:
% \begin{displaymath}
% a^2 + b^2 = c^2
% \end{displaymath}

% In text:
% $\lim_{n \to \infty}
% \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}
% = \frac{\pi^2}{6}$.
% In display:
% \[
% \lim_{n \to \infty}
% \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}
% = \frac{\pi^2}{6}
% \]
% Pascal's rule is
% \[
% \binom{n}{k} =\binom{n-1}{k}
% + \binom{n-1}{k-1}
% \]
% \(\times \div \cdot \pm \mp \nabla \partial\)
% In text:
% $\sum_{i=1}^n \quad
% \int_0^{\frac{\pi}{2}} \quad
% \oint_0^{\frac{\pi}{2}} \quad
% \prod_\epsilon $ 
% In display:
% \[\sum_{i=1}^n \quad
% \int_0^{\frac{\pi}{2}} \quad
% \oint_0^{\frac{\pi}{2}} \quad
% \prod_\epsilon \]
% In text:
% $\sum\limits_{i=1}^n \quad
% \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \quad
% \prod\limits_\epsilon $ \\
% In display:
% \[\sum\nolimits_{i=1}^n \quad
% \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \quad
% \prod\nolimits_\epsilon \]
% \[\sum_{0\leqslant i \leqslant n\\ j\in \mathbb{R}}\]
% \[
% \sum_{\substack{0\le i\le n \\
% j\in \mathbb{R}}}
% P(i,j) = Q(n)
% \]
% \[
% \sum_{\begin{subarray}{-1}
% 0\le i\le n \\
% j\in \mathbb{R}
% \end{subarray}}
% P(i,j) = Q(n)
% \]
% \[\dot{r}\ddot{r}\vec{t}\hat{\theta}\]
% $\bar{x_0} \quad \bar{x}_0$\\[5pt]
% $\vec{x_0} \quad \vec{x}_0$\\[5pt]
% $\hat{\mathbf{e}_x} \quad
% \hat{\mathbf{e}}_x$
% $\underbrace{\overbrace{(a+b+c)}^6
% \cdot \overbrace{(d+e+f)}^7}
% _\text{meaning of life} = 42$
% \[\to \gets \]
% \[ a\xleftarrow{x+y+z} b \]
% \[ c\xrightarrow[x<y]{a*b*c}d \]
% \[1 + \left(\frac{1}{1-x^{2}}
% \right)^3 \qquad (\frac{1}{1-x^{2}}^3)
% \left.\frac{\partial f}{\partial t}
% \right|_{t=0}\]
% \begin{equation}
%     \begin{aligned}
%         a & = b + c \\
%         & = d + e
%     \end{aligned}
% \end{equation}
% \begin{align}
%     a & = b + c \\
%     & = d + e 
% \end{align}
% \[ \mathbf{X} = \left(
%     \begin{array}{cccc}
%     x_{11} & x_{12} & \ldots & x_{1n}\\
%     x_{21} & x_{22} & \ldots & x_{2n}\\
%     \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
%     x_{n1} & x_{n2} & \ldots & x_{nn}\\
%     \end{array} \right) \]
% $\left(\begin{array}{cccc}
%     1&2&3&4\\
%     1&2&3&4\\
%     1&2&3&4\\
%     1&2&3&4\\
% \end{array}\right.$
% 拉格朗日插值多项式
% n次插值基函数定义 
% $若n次多项式l_j(x)(j=1,2,\ldots,n)在n+1个节点x_0<x_1<\ldots<x_n上满足条件$
% $$l_j(x_k)=\begin{cases}
%     1,k=j,\\
%     \qquad\qquad j,k=0,1,\ldots,n,\\
%     0,k\neq j,
% \end{cases}$$
% 就称这$n+1个n次多项式l_0(x),l_1(x),\ldots,l_n(x)为节点x_0,x_1,\ldots,x_n上的\textbf{n次插值基函数}.$
% 由此可以得到$n次插值基函数$为
% $$l_k(x)=\frac{(x-x_0)\ldots(x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\ldots(x-x_n)}{(x_k-x_0)\ldots(x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})\ldots(x_k-x_n)},k=0,1,\ldots,n.$$
% 显然它满足n次插值基函数定义的条件.于是，满足$L_n(x_j)=y_j,j=0,1,\ldots,n.$条件的$L_n(x)$可表示为
% $$L_n(x)=\sum_{k = 0}^{n}y_kl_k(x).$$
% 形如上式的插值多项式$L_n(x)称为\textbf{拉格朗日(Lagrange)插值多项式}$
% 由$l_k(x)$的定义，知
% $$L_n(x_j)=\sum_{k = 0}^{n}y_kl_k(x_j)=y_j,\quad j=0,1,\ldots,n.$$
% 多项式求值的秦九韶算法
% 设给定$n$次多项式$$p(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n,\quad a_0\neq 0,$$
% 求$x^*处的值p(x^*).若直接计算每一项a_ix^{n-i}再相加,共需要$
% $$\sum_{i = 0}^{n}(n-i)=1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}=O(n^2)$$次乘法，$n$次加法.若采用
% $$p(x)=(\cdots(a_0x+a_1)x+\cdots+a_{n-1})x+a_n,$$它可表示为
% $$\begin{cases}
%     b_0=a_0,\\
%     b_i=b_{i-1}x^*+a_i,i=1,2,\ldots,n,
% \end{cases}$$
% 则$b_n=p(x^*)即为所求.$此算法称为秦九韶算法，用它计算$n次多项式p(x)$的值只用$n次乘法和n次加法$
% $乘法次数由O(n^2)降为O(n),且只用n+2个存储单元，国外称此算法为Horner算法$
% 均差
% 称$f[x_0,x_k]=\dfrac{f(x_k)-f(x_0)}{x_k-x_0}为函数f(x)关于点x_0,x_k的$\textbf{一阶均差}
% $f[x_0,x_1,x_k]=\dfrac{f[x_0,x_k]-f[x_0,x_1]}{x_k-x_1}称为f(x)$的\textbf{二阶均差.} 一般地，称
% $$f[x_0,x_1,\ldots,x_k]=\dfrac{f[x_0,\ldots,x_{k-2},x_k]-f[x_0,x_1,\ldots,x_{k-1}]}{x_k-x_{k-1}}$$
% 为$f(x)的\textbf{k阶均差}(均差也称为\textbf{差商.})$
% 均差计算可列均差表
% 牛顿插值多项式
% $一般情形已知f在插值点x_i(i=0,1,\ldots,n)$上的值为$f(x_i)(i=0,1,\ldots,n),要求n次插值多项式P_n(x)满足条件$
% $$P_n(x_i)=f(x_i),\quad i=0,1,\ldots,n,$$
% 则$P_n(x)$可表示为
% $$P_n(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+\ldots+f[x_0,x_1,\ldots,x_n](x-x_0)\ldots(x-x_{n-1})$$
% 与拉格朗日插值不同，这里$P_n(x)$是由基函数$\{1,x-x_0,\ldots,(x-x_0)\ldots(x-x_{n-1})\}$逐次递推得到.
% 正交多项式
% $设\varphi _n(x)是[a,b]上首项系数a_n\neq 0的n次多项式，\rho (x)为[a,b]上权函数.$
% 如果多项式序列$\{\varphi _n(x)\}_0^{\infty}满足关系式
% $$(\varphi _j,\varphi _k)=\int_a^b\rho (x)\varphi _j(x)\varphi _k(x)\mathrm{d}x=\begin{cases}
%     0,\qquad\space\space  j\neq k,\\
%     A_k>0,j=k.
% \end{cases}$$
% 则称多项式序列$\{\varphi _n(x)\}_0^{\infty}$为在$[a,b]上带权\rho (x)正交,称\varphi _n(x)为[a,b]上带权\rho (x)的n次正交多项式.$

% 勒让德多项式
% 当区间为$[-1,1],权函数\rho (x)\equiv 1时,由\{ 1,x,\ldots,x^n,\ldots\}$正交化得到的多项式称为\textbf{勒让德(Legendre)多项式},
% 并用$P_0(x),P_1(x),\ldots,P_n(x),\ldots表示.$
% 递推公式$$(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_n(x)-nP_{n-1}(x),\quad n=1,2,\ldots.其中,P_0(x)=1,P_1(x)=x$$
% 切比雪夫多项式
% 当权函数$\rho (x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}},区间为[-1,1]时,由序列\{ 1,x,\ldots,x^n,\ldots\}正交化得到的正交多项式$
% 就是\textbf{切比雪夫(Chebyshev)多项式,它可表示为}
% $$T_n(x)=\cos (n\arccos x),\vert x\vert \leqslant 1.$$
% 若令$x=\cos \theta ,则T_n(x)=\cos (n\theta),0\leqslant \theta \leqslant \pi.$
% 递推关系
% \begin{aligned}
%     T_{n+1}(x)&=2xT_n(x)-T_{n-1}(x),\quad n=1,2,\ldots,\\
%     T_0(x)&=1,T_1(x)=x.
% \end{aligned}
% 第二类切比雪夫多项式
% $在区间[-1,1]上带权\rho (x)=\sqrt{1-x^2}的正交多项式称为\textbf{第二类切比雪夫多项式},其表达式为$
% $$U_n(x)=\frac{\sin [(n+1)\arccos x]}{\sqrt{1-x^2}}.$$
% 递推关系
% \begin{aligned}
%     U_0(x)&=1,U_1(x)=2x,\\
%     U_{n+1}(x)&=2xU_n(x)-U_{n-1}(x),\quad n=1,2,\ldots.
% \end{aligned}
% 一般区间的切比雪夫多项式零点
% 第一类切比雪夫多项式$T_n(x)$在区间$[-1,1]上有n个零点$
% $$x_k=\cos \frac{2k-1}{2n}\pi,\qquad k=1,2,\ldots,n$$
% 第二类切比雪夫多项式$U_n(x)$在区间$[-1,1]上有n个零点$
% $$x_k=\cos \frac{k\pi}{n+1},\qquad k=1,2,\ldots,n$$
% 由于切比雪夫多项式是在区间$[-1,1]$上定义的，对于一般的区间$[a,b]$，要通过变量替换变换到$[-1,1]$，可令
% $$x=\frac{1}{2}[(b-a)t+a+b],$$
% 则可将$x\in [a,b]变换到t\in [-1,1].$
% 拉盖尔多项式
% $在区间[0,+\infty]上带权e^{-x}的正交多项式称为\textbf{拉盖尔(Laguerre)多项式},其表达式为$
% $$L_n(x)=e^x\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}(x^ne^{-x}).$$
% 递推关系
% \begin{aligned}
%     L_0(x)&=1,L_1(x)=1-x,\\
%     L_{n+1}(x)&=(1+2n-x)L_n(x)-n^2L_{n-1}(x),\quad n=1,2,\ldots.
% \end{aligned}
% 埃尔米特多项式
% $在区间[-\infty,+\infty]上带权e^{-x^2}的正交多项式称为\textbf{埃尔米特(Hermite)多项式},其表达式为$
% $$H_n(x)=(-1)^ne^{x^2}\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}(e^{-x^2}),$$
% 递推关系
% \begin{aligned}
%     H_0(x)&=1,H_1(x)=2x,\\
%     H_{n+1}(x)&=2xH_n(x)-2nH_{n-1}(x),\quad n=1,2,\ldots.
% \end{aligned}
% 求积公式余项
% $$R[f]=\int_a^b\!\!\!f(x)\mathrm{d}x-\sum_{k=0}^nA_kf(x_k)=Kf^{(m+1)}(\eta ),(1)$$
% $其中K为不依赖f(x)的待定参数,\eta \in (a,b).这个结果表明当f(x)是次数小于等于m的多项式时,$
% $由于f^{(m+1)}(x)=0,故此时R[f]=0,即求积公式\int\limits_a^b\!f(x)\mathrm{d}x\approx\sum_{k=0}^nA_kf(x_k)$
% $精确成立.而当f(x)=x^{m+1}时,f^{(m+1)}(x)=(m+1)!,(1)式左端R_n(f)\neq 0,故可求得$
% $$\begin{aligned}
%     K&=\frac{1}{(m+1)!}\left[\int_a^b\!\!\!x^{m+1}\mathrm{d}x-\sum_{k=0}^nA_kx^{m+1}\right]\\
%     &=\frac{1}{(m+1)!}\left[\frac{1}{(m+2)}(b^{m+2}-a^{m+2})-\sum_{k=0}^nA_kx^{m+1}\right]
% \end{aligned}$$
% 牛顿-柯特斯公式
% $设将积分区间[a,b]分为n等分,步长h=\dfrac{b-a}{n},选取等距节点x_k=a+kh构造出的插值型求积公式$
% $$I_n=(b-a)\sum_{k=0}^nC_k^{(n)}f(x_k),$$
% $称为\textbf{牛顿-柯特斯}(\mathrm{Newtown-Cotes})\textbf{公式},式中C_k^{(n)}称为\textbf{柯特斯系数}.$
% $根据求积系数A_k=\int_a^bl_k(x)\mathrm{d}x,k=0,1,\ldots,n.引进变换x=a+th,则有$
% $$C_k^{(n)}=\frac{h}{b-a}\int_0^n\prod_{j=0\\j\neq k}^n\frac{t-j}{k-j}\mathrm{d}t=\frac{(-1)^{n-k}}{nk!(n-k)!}\int_0^n\prod_{j=0\\j\neq k}^n(t-j)\mathrm{d}t.$$
% $特别地，当n=2时,相应的求积公式称为\textbf{辛普森}(\mathrm{Simpson})\textbf{公式}:$
% $$S=\frac{b-a}{6}\left[f(a)+4f(\frac{a+b}{2})+f(b)\right].$$
% 复合梯形公式
% $将区间[a,b]划分为n等份,分点x_k=a+kh,h=\dfrac{b-a}{n},k=0,1,\ldots,n,在每个子区间[x_k,x_{k+1}](k=0,1,\ldots,n-1)上$
% $采用梯形公式\int\limits_a^b\!f(x)\mathrm{d}x\approx\frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)],则得$
% $$T_n=\frac{h}{2}\sum_{k=0}^{n-1}[f(x_k)+f(x_{k+1})]=\frac{h}{2}\left[f(a)+2\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)+f(b)\right],$$
% 称为复合梯形公式
% 复合辛普森公式
% $将区间[a,b]划分为n等份,在每个子区间[x_k,x_{k+1}](k=0,1,\ldots,n-1)上$
% $采用辛普森公式,若记x_{k+1/2}=x_k+\frac{1}{2}h,则得$
% $$\begin{aligned}
%     S_n&=\frac{h}{6}\sum_{k=0}^{n-1}[f(x_k)+4f(x_{k+1/2})+f(x_{k+1})]\\
%     &=\frac{h}{6}\left[f(a)+4\sum_{k=0}^{n-1}f(x_{k+1/2})+2\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)+f(b)\right],
% \end{aligned}$$
% 称为复合辛普森公式
% 二分法
% $考察有根区间[a,b],取中点x_0=(a+b)/2将它分成两半,假设中点x_0不是f(x)的零点,然后进行根的搜索,即检查$
% $f(x_0)与f(a)是否同号,如果同号，说明所求的根x^*在x_0的右侧，这时令a_1=x_0,b_1=b;否则x^*必在x_0的左侧,$
% $这时令a_1=a,b_1=x_0,对新的有根区间[a_1,b_1]施行同种过程,每次二分后，设取有根区间[a_k,b_k]的中点$
% $$x_k=(a_k+b_k)/2$$
% $作为根的近似值,则在二分过程中可以获得一个近似根序列$
% $$x_0,x_1,x_2,\ldots,x_k,\ldots,$$
% $该序列必以根x^*为极限$
% 牛顿法
% $设已知方程f(x)=0有近似根x_k(假定f'(x_k)\neq 0),将函数f(x)在点x_k出展开,有$
% $$f(x)\approx f(x_k)+f'(x_k)(x-x_k),$$
% $于是方程f(x)=0可近似地表示为$
% $$f(x_k)+f'(x_k)(x-x_k)=0.$$
% $这是个线性方程,记其根为x_{k+1}，则x_{k+1}的计算公式为$
% $$x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)},k=0,1,\ldots,$$
% 这就是牛顿法
% 弦截法
% $设x_k,x_{k+1}是方程f(x)=0的近似根，利用f(x_k)，f(x_{k-1})构造一次插值多项式p_1(x),并用p_1(x)=0$
% $的根作为方程f(x)=0的新的近似根x_{k+1}.由于$
% $$p_1(x)=f(x_k)+\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}(x-x_k),(1)$$
% $因此有$
% $$x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f(x_k)-f(x_{k-1})}(x_k-x_{k-1}).(2)$$
% $这样导出的迭代公式(2)可以看做牛顿公式$
% $$x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$$
% $中导数f'(x_k)用差商\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}取代的结果.$
% $该方法称为弦截法.$
% \big| \Big| \bigg| \Bigg| \\
% \big\{ \Big\{ \bigg\{ \Bigg\{
% \big\langle \Big\rangle \bigg\{ \Bigg\{
hello world I am a boy
hello world I am a boy
hello world I am a boy
hello world I am a boy
hello world I am a boy
hello     world I am a boy

hello world
I am a boy
hello world
I am a boy
hello world
I am a boy
hello world
I am a boy
hello world
I am a boy
\textbackslash
\# \$ \% \{ \}
n=5
\(n=5\)
\[n=5m=4\]
$$n=5m=4$$
\begin{equation}
    y=3
    x=4
    z=5
\end{equation}
\(a^k_{ij}\)
\(a_{ij}^k\)
\(\overbrace{abc}\)
\(\underbrace{abc}\)
\(\overline{abc}\)
\(\underline{abc}\)
\(\colon\)
\num{-23e13}
\si[299792458]{m/s}
\SI[299792458]{m/s}
q%
a
\end{document}